优选法理论与应用

优选法理论与应用

葛维亚

      微积分中求解函数极值是一个重要的内容，通常涉及到一阶导数和二阶导数的测试。

      数学中推求极值的方法一般有直接法、导数法、二次函数法、拐点法、区间法、等价变形法、梯度法、牛顿法和其他优化算法等。

       求一阶导数。首先，对给定的函数求一阶导数。这是为了找到函数图像上斜率为零的点，即可能的极值点。

       判断极值类型。使用二阶导数测试来判断每个临界点是极大值还是极小值。如果在某临界点处，二阶导数大于零，则该点是极小值点；如果二阶导数小于零，则该点是极大值点。

       考虑定义域的边界点：如果函数的定义域是有限的，那么还需要考虑定义域的边界点。在这些点上，函数也可能取得极值。

      通过上述步骤，可以系统地求解函数的极值问题。这些方法基于微积分的基本原理，特别是导数的应用。

      首先要判断函数是否为单调性，再确定是极大值还是极小值。若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值。

       推求极值的导数法计算步骤如下

1.  求导数f’(x)；

2.  求方程f’(x)=0的根；

3.  检查f’(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

       但是在实际应用中，很多问题无法确定研究对象的数学方程式，此时只能采用最优化的数学方法推求极值。

       其中对使用最多的是单一变量（目标）0.618优选法。也就是在数字0到n（n大于0）的区间内，首先根据具体的实际问题建立目标函数和精度要求。继而在0到n的线段上，找到0.618点的位置，此时已经把线段分为两段，经过计算获得两个线段的目标函数，舍弃精度差的一段，保留精度高的一段，在这一线段上重复以上的操作，直到达到精度要求为止，此时的数值就是我们所需要的极值。

        综上所述，优选法是以数学原理为指导，合理安排试验，以尽可能少的试验次数尽快找到生产和科学实验中最优方案的科学方法。优选法在数学上就是寻找函数极值的较快较精确的计算方法。

         优选法的应用范围相当广泛，中国数学家华罗庚在推广应用方面取得了成效。

       企业在新产品、新工艺研究，仪表、设备调试等方面多数采用了0.618这种黄金分割优选法，能以较少的实验次数迅速找到较优方案，在不增加设备、物资、人力和原材料的条件下，缩短工期、提高产量和质量，降低成本等。

       黄金分割法（0.618法），是一种常用的单因素单峰目标函数优选法。这种方法在试验时，将试点安排在黄金分割点上，以寻找最佳点。1953年，美国数学家基弗提出了0.618法，后来在中国，20世纪60、70年代，数学家华罗庚先生对其作了简化和补充，并在全国范围内推广，取得了令人满意的结果。

       我记得我七八十年前儿童时期吃糕点、饼干时，在感觉上与现在现在完全不同，那时甜的是一种甜味，咸也是一种咸味，可是现在不同了，甜的是多种甜味，咸也是多种咸味，其原因就在于现在制作糕点采用了优选法。

葛维亚简介 葛维亚，水文水资源博士，科研院总工，教授级高工，著名水文水资源学家，3所著名重点大学特聘教授及博导，我国著名技术期刊审稿人，国务院政府专家津贴获得者。 担任过水利部国家水文数据库专家指导组成员，全国多个技术课题鉴定委员会的委员、副主委、主委，亲自起草会议纪要、测试报告以及鉴定评审意见书。 特邀担任全国著名技术刊物审稿者。上世纪七八十年代担任国际水文科学协会IAHS水资源部门负责人兼驻中国特派员。 曾获得国家水文数据库开发设计全国特别奖、程序编制甲等奖、水文单值化创新大奖、流域汇流方法创新奖。 退休后，自2006年开始，在网上自建《水文狮子林》个人网站，又在科学网、新浪网、龙城博客网建立博客园地，发表博文九百篇，图片五百多张，全部点击量超过千万。获得了我国科学网高级会员，金山毒霸钻石会员，博客之星称号。